Цитата: Из организации "А" он увольняется и с 01.06.2019 г. стает у нас основным работником.
Это кто Вам сказал, что если работник увольняется с основной работы, то работа по совместительству стает основной автоматически?
Нет, абсолютно однозначно. Работник может этого желать, но не требовать.
Цитата: Вариант с расторжением старого договора и заключение нового он не рассматривает категорически.
Значит, он может остаться работать в данной организации на прежних условиях - на условиях совместительства. И работодатель вполне законно может отказать этому работнику в том, чтобы работа стала для него основной. Просто по причине "не хочу и все", по причине того, что может не быть целой единицы в штатном расписании (если при всем при этом работник еще хочет и целый день трудиться). Поэтому, выражение "работник не рассматривает категорически" звучит, по меньше мере, очень громко и навязчиво.
Условия ТД могут меняться исключительно по соглашению сторон ТД. Поэтому, работнику лучше "договориться" с работодателем и сделать все так, как будет удобно для обеих сторон. Либо остаться на прежних условиях. Либо принять условия работодателя.
Статья 72 ТК РФ. Изменение определенных сторонами условий трудового договора (действующая редакция)
Изменение определенных сторонами условий трудового договора, в том числе перевод на другую работу,
допускается только по соглашению сторон трудового договора, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Кодексом. Соглашение об изменении определенных сторонами условий трудового договора заключается в письменной форме.
Если бы подобное было в моей организации, я бы предложила работнику один вариант - уволиться с совместительства и оформиться на новых условиях ТД. И другого варианта категорически НЕ рассматривала бы. Потому как для меня (с моей точки зрения) - это единственно верный вариант. Тогда не будет вопросов "как поступить с записями в трудовой книжке, как оформить расчет, как оформить и зарегистрировать трудовую книжку" и так далее.